Hola, David.
No nos dices qué versión de Moodle estás utilizando ni si ese "servidor contratado" es un servicio de Hosting, un VPS o un Dedicado.
En general, cuando estás en un hosting, las versiones de PHP utilizadas pueden no tener habilitadas las opciones de phpmailer. Por tanto, esta funcionalidad no estará disponible para que la plataforma haga uso de ellas para el envío de mensajes de correo-e.
En este caso deberás configurar un servidor SMTP para el envío de dichos mensajes.
Cuando estás en un VPS o servidor Dedicado (bare metal) puedes configurar tú mismo el servicio PHP y añadir las extensiones necesarias que, en general para el caso de phpmailer, es suficiente para el envío de correos esporádicos. Aunque, incluso en este caso, es interesante contar con un servidor SMTP para configurar dentro de Moodle y mejorar la funcionalidad de las comunicaciones mediante el correo-e.
Quizá te sea de utilidad esta documentación oficial: https://docs.moodle.org/all/es/Configuración_del_correo
Un saludo.
JP