Hola Fernando,
A ver si esta documentación de Moodle te puede servir: https://docs.moodle.org/all/es/Migración_de_Moodle
En principio, la base de datos no la tienes que tocar para nada. Tampoco las carpetas 'moodle' y 'moodledata'. Solo modificar las rutas en el archivo 'config.php' (de la carpeta 'moodle') adaptándolas al nuevo alojamiento y luego, siempre que cambies de dominio (si no cambias de dominio no es necesario y solo bastará con apuntar a la nueva IP) deberás ejecutar el archivo 'replace.php' que, según versiones está en rutas diferentes. En el manual viene explicado.
Una recomendación: Trabaja sobre una COPIA de tu sitio, deja el original intacto hasta que veas que todo funciona correctamente.
Un saludo.
JP