Hola!
Sí, puedes hacer mucho de lo que planteas. Antes que nada, permíteme recomendarte que estas cuestiones se planteen en mensajes distintos para que las respuestas sean más organizadas y atómicas.
1. Los FAQs se pueden implementar a través del módulo Glosario.
2. No estoy seguro que puedas sincronizar Google Calendar con moodle, aunque al parecer sí. Otra opción es importar entradas del calendario. Chequea estos dos enlaces:
https://moodle.org/mod/forum/discuss.php?d=218467#p951387
3. Sí puedes implementar grupos dentro de los cursos.
4. Existen módulos que te permiten realizar interacciones o implementar actividades, tales como Tarea y Cuestionario.
Saludos cordiales!