Buenos días.
La forma de migrar una plataforma Moodle completa de un servidor a otro implica tener acceso a tres elementos: copia de la base de datos, de la carpeta "moodledata" y de la carpeta "moodle", y que todas ellas correspondan al mismo "momento" para evitar incoherencias de información (por esto conviene poner la plataforma en modo mantenimiento antes de obtener copia de esos tres elementos).
Me temo que para obtener copia de dichos tres elementos se necesita tener acceso al servidor (por FTP, o herramientas de administración del alojamiento, depende en cada caso, claro). No se me ocurre ninguna otra forma de obtenerlos "desde fuera".
Entonces, la otra alternativa es la que tú comentas, ir descargando copias de seguridad de cada curso. Según cuantos cursos tengáis, puede ser un poco pesado, salvo que tengáis programadas copias de seguridad automáticas y eso simplificaría el proceso (solamente descargar los archivos copia de seguridad, pues ya se habrían creado automáticamente). Pero lo que sería muy sencillo es el proceso posterior, el de "restaurar" esas copias de seguridad en la nueva plataforma. Para ello, recuerda que Moodle tiene la opción para subir cursos de forma masiva indicando el archivo de copia que debe usar en cada caso (más info:
https://docs.moodle.org/all/es/Subir_cursos).
Saludos