Hola Pedro.
Según entiendo, si vas a utilizar otro puerto distinto del 80 para un servidor web, para acceder desde un navegador cualquiera desde Internet habrá que especificarlo... tudominio.com:8080 y dependiendo de tus usuarios resultará más o menos complicado.
Aunque la carpeta por defecto del servidor web no sea /var/www/html, da lo mismo.
Imagina que la carpeta por defecto configurada en el servidor web es /ruta/carpeta/web ... todo lo que haya dentro de la carpeta ../web será accesible desde Internet (igual que lo es ../html)
Por tanto, podrías hacer:
/ruta/carpeta/web/moodle, para acceder al contenido de tu instalación Moodle y
/ruta/carpeta/web/otrolms, para acceder al contenido del otro LMS que tienes instalado.
De esta forma podrás acceder con las siguientes URLs...
http(s)://tudominio.com/moodle a la plataforma Moodle, y
http(s)://tudominio.com/otrolms a la otra plataforma LMS
Por supuesto, la ruta de 'moodledata' tendrá que estar en /ruta/carpeta/moodledata
La ruta para la carpeta de datos del otro LMS, si existe, dependerá de su configuración.
También podrías crear subdominios y que cada uno de ellos "apunte" a una de las carpetas. Por ejemplo: http(s)://moodle.tudominio.com apuntaría a tu carpeta 'moodle' y http(s)://otrolms.tudominio.com apuntaría a la carpeta 'otrolms'
De igual forma, tendrás 2 bases de datos. Una para Moodle que podría llamarse 'moodledb' y otra para el otro LMS 'otrolmsdb'.
Para facilitar las cosas, procura que las versiones de PHP que utilizarán tanto Moodle como el otro LMS sean la misma. Si no, tocará instalar las versiones de PHP correspondientes y configurar el servidor PHP y/o el servidor web (Apache en tu caso) para que cada versión vaya a cada carpeta según corresponda.
Un saludo
JP