Hola Guzmán,
En mi opinión hay varias opciones:
1) Intenta la instalación por línea de comandos (CLI). Más información aquí.
2) Si forzosamente deseas instalar desde el navegador, tal vez subiendo la memoria de PHP (a 512MB o más) y/o el tiempo de ejecución de scripts (a 300 segundos o más).
Ambos valores los podrías bajar luego de haber instalado, dependiendo de cómo te funcione tu plataforma.
3) Inicialmente, de manera paralela a lo anterior, o como segunda opción, revisar el log de errores de Apache (o del servidor Web en uso), para ver qué está pasando, y actuar en consecuencia.
4) Inicialmente, de manera paralela a lo anterior, o como segunda opción, agregar esto en el archivo de instalación de Moodle (hasta arriba del mismo):
ini_set('display_errors', 1);
ini_set('display_startup_errors', 1);
error_reporting(E_ALL);
Y actuar en consecuencia.
Saludos