No se como eliminaste la cache. Desde la administración hay una opción para hacerlo sin eliminar archivos del sistema.
El error es muy claro. Eliminaste un archivo del directorio cache (que no tiene nada que ver con los datos).
Warning: require_once(/home1/singles/public_html/moodle/cache/lib.php): failed to open stream: No such file or directory in /home1/singles/public_html/moodle/lib/setup.php on line 532
Descarga la version 2.5.2 de moodle, y copia SOLO el directorio /cache de nuevo. Con eso debería funcionar.
La próxima vez, utiliza la opción de "Purgar cache" desde la administración. Y en cualquier caso, la cache de moodle se guarda en moodledata. Esa carpeta solo tiene los scripts que gestionan la cache.