Hola Fran,
No tengo experiencia con Moodle 3.0.4, pero según el 'Debug info' parece que hay un problema al escribir en el archivo de configuración de la cache.
Una vez hayas subido los archivos de instalación al servidor, antes de lanzar la instalación (install.php) confirma que todos los archivos y carpetas tienen los permisos necesarios.
En general, 777 para archivos y carpetas de 'moodledata' (de allí que no se deba poder acceder desde la web) y 755 para las carpetas y 644 para los archivos contenidos en éstas para 'moodle'.
Revisa la documentación de Moodle al respecto.
Una vez los permisos correctos, lanza la instalación.
Por cierto, el 'max_execution_time' de la configuración de PHP en el servidor debe estar al menos en 300 segundos, por experiencia propia, instalando la versión 2.6.
He visto configuraciones con 600 segundos.
El 'memory_limit' a 128MB, aunque hay quien lo pone a 256MB
JP