Problém se nám podařilo společně vyřešit, přidávám proto řešení i pro ostatní zájemce.
Většinou pomůže změit následující nastavení:
Security -> HTTP Security -> Regenerate Session ID: Disable
Když výše uvedené řešení nestačí, je někdy ještě potřeba smazat cache prohlížeče na stanici a přidat server s Moodlem v Internet Exploreru mezi důvěryhodné servery.