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Me parece que lo que quieres es mover toda tu instalación de Moodle a una subcarpeta de la principal (no necesariamente a un subdominio) y hacerlo es muy fácil (como ya te dijeron Xavier y David). Solo mueve todos los archivos y carpetas de Moodle a la subcarpeta en la que quieres que estén. Por ultimo edita el config.php en las siguientes líneas:

$CFG->wwwroot = 'http://tudirecciondemoodle';
$CFG->dirroot = '/public_html/tu-carpeta-de-moodle';
$CFG->dataroot = '/moodledata';

Aclaro que lo anterior es un ejemplo, tú tienes que adaptarlo a tu situación.

Todo eso porque has dicho que están en el mismo servidor, en el mismo public_html porque si no ya tendrias que llevarte la base de datos y la carpeta moodledata.