Tienes dos opciones.
La primera, convertir tu ordenador en un servidor. Para ello tendrías que conseguir una IP fija o un DNS que pueda manejar IP dinámicos y abrir puertos en tu firewall. Pero supongo que no es eso lo que quieres.
La segunda opción consiste en buscar un servidor donde hospedar/alojar tu moodle (busca "hosting" o "alojamiento" con un buscador). Puedes encontrar muchos servidores diferentes en la red, y la oferta varía según si quieres servidores en español o no, y según la cantidad mensual que estés dispuesto a pagar. Asegúrate de que soporten los requisitos de Moodle, que puedes ver en la opción "Environment" (entorno) del menú de administración. Lo básico es que tenga php y mysql.
Suponiendo que ya tienes buscado un servidor, el siguiente paso consiste en enviar tus archivos al servidor.
1) Descarga una copia de moodle, de la misma versión que estés usando localmente.
2) Descomprímela.
3.a) Si usas una versión anterior a la 1.6, borra los lenguajes que no quieras usar. Eso acelerará la transferencia ftp.
3.b) Si usas la versión 1.6, descarga y descomprime los archivos de idioma para el español y para cualquier otra lengua que quieras usar.
4) Abre una ventana ftp a tu servidor (al hacerte una cuenta en el servidor te habrán proporcionado nombre de usuario y contraseña; si no tienes cliente ftp, puedes usar el explorador de windows, escribiendo ftp://nombre_del_servidor en la ventana de dirección... Por mi parte, suelo usar ncftp para linux.
4) Envía todas las carpetas de moodle a la carpeta de publicación web de tu servidor (según el servidor puede ser /htdocs, /www /html ...)
5) Ve a la dirección pública de tu página web (usualmente http://mimoodle.miservidor.com o www.miservidor.com/mimoodle), y aparecerá el cuadro de instalación. Tendrás que introducir todos los detalles referentes a la carpeta en que está moodle y a la cuenta mysql.
6) Una vez instalado moodle en el servidor, haz una copia de seguridad de todos los cursos de tu instalación local y vuélcala en el servidor.
El proceso de envío de moodle es largo (especialmente en las versiones anteriores a la 1.6, que tienen muchísimos archivos). Algunos servidores, para acelerarlo, tienen una opción para transferir archivos comprimidos y descomprimirlos en el servidor, con lo que se acelera el proceso. Si usas esa opción, ten en cuenta que primero tienes que dividir los archivos de moodle de forma que no superen el máximo del servidor (normalmente, 2 megas).
Una dificultad adicional consiste en la selección de permisos en el servidor: algunas combinaciones de descompresor de archivos/cliente ftp (especialmente para windows) pueden hacer que se pierdan los permisos originales de los archivos. Los sistemas de envío de archivos comprimidos de muchos servidores tienen el mismo efecto destructivo.