ログにユーザ名を表示する場合、カラムにユーザ名を表示するための関数作成等のプログラム開発作業が必要になるかと思います。

課題、小テスト等の活動モジュール (アクティビティ) にユーザ名を表示するのみでしたら、以下のMoodle設定ファイル (config.php) 修正ではいかがでしょうか。

修正対象ファイル:
config.php

修正箇所:
27行目あたり

[ 修正前 ]
$CFG->directorypermissions = 0777;

require_once(__DIR__ . '/lib/setup.php');

// There is no php closing tag in this file,
// it is intentional because it prevents trailing whitespace problems!

[ 修正後 ]
$CFG->directorypermissions = 0777;

require_once(__DIR__ . '/lib/setup.php');

$CFG->showuseridentity = 'email,username';

// There is no php closing tag in this file,
// it is intentional because it prevents trailing whitespace problems!

参考資料:
[Moodle in English: Re: Displaying "Username" on the Manul Enrolments page (2.6)]
https://moodle.org/mod/forum/discuss.php?d=255516#p1108468