Russian Moodle

Никакой кнопки не будет. При обновлении версии Мудл система сразу же запускает процесс обновления, как только авторизуется админ.

Про плагины можете не волноваться, даже если вы их сразу не перенесли в новую версию. Информация об установленных дополнениях хранится в базе данных и остается там до тех пор, пока вы не удалите какой-то плагин через админку.

При обновлении, в случае отсутствия файлов плагина на диске, Мудл вам сообщит об этом и предложит или установить из оф. базы плагинов, или самому загрузить zip-архив для установки. Вот скрин обновления Мудл с недостающими плагинами. На этом этапе даже можно пропустить их установку, а только обновить Мудл.

Позже можно зайти в админку - Плагины - Обзор плагинов и решить, что делать: установить недостающие или удалить (в случае отсутствия нужной версии или по др. причине).  Можете скопировать файлы плагинов из своей старой установки Мудл в соответствующие папки, если уверены в их полной работоспособности в новой версии системы.

В какую папку какой плагин копировать, смотрите тут: https://docs.moodle.org/38/en/Installing_plugins#Installing_manually_at_the_server

Какие плагины нужно скопировать из старой версии тоже смотрите на странице Обзор плагинов. Напротив нестандартных плагинов написано Дополнение.

Чтобы упростить процесс обновления Мудл с доп. плагинами и своими правками в коде, желательно перейти на GIT-репозиторий. Это значительно облегчит вам жизнь, как администратору системы, если вы собираетесь долго (и счастливо) работать с Мудл. Но, это уже другая история