Никакой кнопки не будет. При обновлении версии Мудл система сразу же запускает процесс обновления, как только авторизуется админ.

Про плагины можете не волноваться, даже если вы их сразу не перенесли в новую версию. Информация об установленных дополнениях хранится в базе данных и остается там до тех пор, пока вы не удалите какой-то плагин через админку.

При обновлении, в случае отсутствия файлов плагина на диске, Мудл вам сообщит об этом и предложит или установить из оф. базы плагинов, или самому загрузить zip-архив для установки. Вот скрин обновления Мудл с недостающими плагинами. На этом этапе даже можно пропустить их установку, а только обновить Мудл.

Позже можно зайти в админку - Плагины - Обзор плагинов и решить, что делать: установить недостающие или удалить (в случае отсутствия нужной версии или по др. причине).  Можете скопировать файлы плагинов из своей старой установки Мудл в соответствующие папки, если уверены в их полной работоспособности в новой версии системы.

В какую папку какой плагин копировать, смотрите тут: https://docs.moodle.org/38/en/Installing_plugins#Installing_manually_at_the_server

Какие плагины нужно скопировать из старой версии тоже смотрите на странице Обзор плагинов. Напротив нестандартных плагинов написано Дополнение.

Чтобы упростить процесс обновления Мудл с доп. плагинами и своими правками в коде, желательно перейти на GIT-репозиторий. Это значительно облегчит вам жизнь, как администратору системы, если вы собираетесь долго (и счастливо) работать с Мудл. Но, это уже другая история