Hola, Jordan.
No comentas qué versión de Moodle estás utilizando, pero según la primera imagen que adjuntas, parece que se trata de una versión reciente. Es posible que ni PHP 5.6 ni PHP 7.0 puedan funcionar y sea necesaria una versión también reciente de PHP como la 7.2 o superior.
En cuanto a la segunda imagen, si estás intentando actualizar Moodle a una versión más reciente, probablemente vaya peor ya que la versión de PHP necesaria, será mayor también.
La advertencia en letras rojas te indica que el formato de las tablas de la Base de Datos están usando Antelope, que es un formato antiguo, mientras que la versión de Moodle que quieres actualizar utiliza el formato Barracuda, más actual.
Por tanto, además de que PHP es antiguo, la versión de MySQL que estás usando, también lo es.
Revisa los requerimientos mínimos para la versión de Moodle que quieres utilizar y/o actualizar y valora si tu proveedor de hosting te ofrece esas versiones.
A veces es preferible un VPS a un hosting compartido, que puedes configurar con libertad según los requerimientos de los servicios que vayas a instalar.
Saludos.
JP