Hola, Alejandro.
Normalmente, los logs se guardan en la propia base de datos (MySQL o la que utilicéis en tu plataforma), y puedes configurarlo para que se borren automáticamente pasado un cierto tiempo. Puedes verlo aquí:
Administración del sitio > Extensiones > Logging > Administrar opciones de registro ... y "Configuración" del que estés usando.
La mayor parte del espacio en disco ocupado viene de los archivos que existan en la plataforma (archivos subidos como imágenes, documentos, etc. pero también copias de seguridad manuales o programadas, según la configuración que tengáis). Ten en cuenta también que Moodle incorpora sistemas de seguridad y optimización que hacen que, por ejemplo, al borrar un archivo de un curso no desaparece inmediatamente del disco, sino que Moodle deja pasar un tiempo (pueden ser días) hasta que lo elimina definitivamente.
Ese y otros sistemas de "Limpieza" automática se pueden gestionar desde los menús de administración, pero necesitan siempre de que el "Cron" esté programado correctamente y se ejecute periódicamente cada X minutos.
Saludos.