> 何か手があるでしょうか?
シックスコアのバックアップデータ取得には個別に費用が発生しますが、下記ページで詳細説明をご覧頂けます。
[バックアップ - シックスコア(sixcore)]
https://www.sixcore.ne.jp/shared/service/service_backup.php
>アップデート時は、テーマを「clean」に変更する必要があるのでしょうか?
いいえ、テーマを「clean」に変更する必要はございません。
> 何か回避策があるのでしょうか?
独自開発のプラグイン、非標準プラグイン (https://moodle.org/plugins/)、プログラムの修正等、何が影響しているか確認する必要がございますため、まず、サーバのログをご確認ください。その上でテーマ表示不良を解決するための対策をお考えください。