Pues ahora ya creo que me he perdido un poco ...
- Las carpetas admin, auth, availability, etc. están dentro del paquete de Moodle (el software) y esa carpeta no es "moodledata".
- La carpeta "moodledata" es la que se crea vacía para una nueva instalación, y se va poblando con todos los archivos subidos a la plataforma (documentos, imágenes, etc.), además de contener carpetas de archivos temporales, caché, idiomas locales, etc.
Esa carpeta "moodletada" contiene habitualmente estas carpetas: cache, environment, filedir, lang, localcache, lock ... y contendrá la carpeta "repository" (creada automáticamente al habilitar el repositorio "sistema de archivos").
- No se debe colocar la carpeta "moodledata" DENTRO de la instalación de Moodle. Tienes más información aquí: https://docs.moodle.org/33/en/Installing_Moodle#Create_the_.28moodledata.29_data_directory
A ver si el problema viene por ahí, porque tu estructura de carpetas no sigue esas recomendaciones y hay problemas de permisos, etc.
Saludos.