下記グループ関数をお使いになってはいかがでしょうか。

[Groups API - MoodleDocs]
https://docs.moodle.org/dev/Groups_API#Functions

例えば下記のようにプログラムを修正することにより、コース中央上部にグループIDが「1」のグループ名を表示することができます。

修正対象ファイル:
course/view.php

修正箇所:
245行目

[ 修正前 ]
    $PAGE->set_heading($course->fullname);
    echo $OUTPUT->header();

    if ($completion->is_enabled()) {
        // This value tracks whether there has been a dynamic change to the page.

[ 修正後 ]
    $PAGE->set_heading($course->fullname);
    echo $OUTPUT->header();

    $groupid = 1;
    $groupname = groups_get_group_name($groupid);
    echo 'Group name is ' . $groupname;

    if ($completion->is_enabled()) {
        // This value tracks whether there has been a dynamic change to the page.

URLリソースの設定にあるURL変数の右辺値としてグループidやグループ名を受け取りたいというご希望でしょうか?

https://docs.moodle.org/33/en/URL_resource_settings#URL_variables

右辺値として選べるものの中に(現在のユーザの)グループに関するものはないと思います.  想像ですが, ユーザは0個や2個以上のグループに属することがありますので, 右辺値の仕様が自明ではないために実装されていないのかもしれません.

上記の記事中にある student's user report へのリンクに相当する「あなたの所属するグループ」のようなリンクを(Moodle内で)作りたいというご希望でしたら, 次のプラグインで実現できるかもしれません.

https://moodle.org/plugins/mod_groupmembers