Hola Sebastián,
Eso se debe al visor de vídeos de HTML5. Los navegadores que (actualmente todos) soportan HTML5 muestran los botones de su visor por defecto.
Quizá podrías utilizar otro visor, por ejemplo en flash, insertándolo en un recurso página.
O, escribir un código específico en HTML en el mismo recurso página pero con los parámetros necesarios para evitar que aparezca el botón de descarga del vídeo.
A ver si esto te sirve de orientación:
http://www.forosdelweb.com/f4/quitar-boton-descarga-etiqueta-video-html5-1156839/
http://www.anerbarrena.com/html5-video-player-multimedia-5241/
Un saludo.
JP