Hola, Mónica.
¿Qué tipo de mensajes no salen a correos externos? ¿Ninguno en absoluto, depende ...?
De entrada, si estuviera bien configurada la conexión con el servidor de correo (el que tengas en tu caso), como mínimo deberían enviarse las copias de mensajes privados entre usuarios, los mensajes de que una tarea ha sido entregada, calificada, etc. Si eso no ocurre, posiblemente debas revisar la configuración SMTP (email).
Temporalmente puedes habilitar esto:
Administración del sitio > Desarrollo > Depurando > Depurar envío de emails
Si esos mensajes que te he comentado se envían correctamente, pero lo que no se envían son copias de mensajes de los foros, posiblemente es que no esté funcionando correctamente el "cron" de tu plataforma.
Si todo eso está correcto, comprueba que no sea un problema en la recepción de los mensajes. Es decir, algunos servicios de correo (Hotmail, Gmail ...) pueden identificar como SPAM los mensajes recibidos desde una plataforma Moodle. Haz pruebas con diversas direcciones de email de servidores diferentes, y siempre revisa si llegan a alguna carpeta de "correo no deseado".
Saludos.