Hola Pablo,
Existen recomendaciones de Moodle acerca de qué sistemas operativos utilizar, hardware más idóneo y diversas configuraciones para mejorar el rendimiento.
El sistema que estás utilizando tú, según veo, está orientado a NAS y no a servidor web basado en PHP como necesita Moodle. Además DSM es, como dices, un sistema operativo específico y no optimizado para instalar Moodle sino las aplicaciones de Synology.
Creo que te sería de utilidad revisar la siguiente documentación:
https://docs.moodle.org/all/es/Instalación_de_Moodle
https://docs.moodle.org/all/es/Recomendaciones_sobre_desempeño
Siento no poder ayudarte, ya que tu caso es especial.
JP