Комп с белым ip.
ОС: Suse 12.3
Moodle 2.6.11+ (Build: 20150619)
ps. Перечитал весь сайт в поисках подходящего решения - ничего не помогло.

/admin/settings.php?section=debugging
тут включите Отладка отправки электронной почты debugsmtp (в первой строчке там же включите отображение отладочных сообщений), попробуйте зарегистрироваться на своём сайте и в момент отправки увидите причину. E-mail как мне представляется не всегда cron отправляет т.к. он запускается обычно каждую 1 минуту, а письма приходят моментально.
Error code: auth_emailnoemail
- line 463 of /lib/setuplib.php: moodle_exception thrown
- line 106 of /auth/email/auth.php: call to print_error()
- line 70 of /login/signup.php: call to auth_plugin_email->user_signup()
На сколько я понимаю - да.
Ниже приведено содержимое php.ini

Какой-то "левый" php.ini
У вас сервер под Windows или нет?
Если Windows, то как moodle тогда завелась без кучи расширений: mbstring, curl, dom, soap, gd и т. д.
Расширение для работы с базами данных вообще ни одно не подключено. Какой сервер БД используете?
Это что-то не то. Посмотрите в phpinfo, откуда РНР конфиг загружается.
Update: прочитал первое сообщение, увидел - "ОС: Suse 12.3"
Это не тот php.ini показываете. В линуксе расширения РНР заканчиваются .so: openssl.so, xmlrpc.so и т. д.