Hola Alex.
Básicamente:
1) Adquirir el nuevo dominio.
2) Apuntar el nuevo dominio al nuevo hosting (DNS).
3) Crear una copia de seguridad de la carpeta moodle.
4) Crear una copia de seguridad de la carpeta moodledata: corresponde al valor de la variable $CFG->dataroot que se encuentra en el archivo config.php
5) Crear una copia de seguridad de la base de datos. Si tienes acceso a la línea de comandos podrías usar mysqldump. Realmente no sé como se hace con phpmyAdmin o similares pero supongo que bastará con googlearlo.
6) Copiar "3, 4 y 5" al servidor de destino.
7) Restaurar la copia de seguridad de la db y ubicar las otras dos carpetas donde corresponda (podrías seguir el mismo enfoque de tu servidor anterior).
8) Probar el acceso desde web: ojo, aunque el punto 2 se haya completado satisfactoriamente, a veces toma tiempo hasta que los cambios se propaguen a través de Internet.
Obs.: durante el proceso podrías encontrarte con problemas de permisos fácilmente solucionables siempre que tengas el nivel de acceso que lo permita.