Na verdade existem opções para a sua solução, você pode ter uma estrutura web e ter seu próprio servidor, não é uma boa escolha porque influência em muitas questões, você pode e deve, nesse caso, contratar os serviços de um provedor, existem muitos com preços e espaços de armazenamento variados, dos que eu já use posso citar, locaweb, uolhosts, kinghost...
Verifique se o provedor que vai contratar suporta a instalação do Moodle e se tiver um script pronto é ainda melhor, dê preferência a um plano de hospedagem em servidores linux ( que tenha suporte a php e mysql )
Depois você vai precisar registrar seu domínio, se não tem ainda, o provedor pode fazer isso para você com um adicional no preço ou você pode fazer isso entrando no www.registro.br e fazer você mesmo seu registro.
Se quiser testar antes, de uma olhadinha em http://ninehub.com/ que é um serviço de hospedagem grátis do moodle.
Se tiver dúvidas ou qusier mais informações, entre em contato que terei parzer em ajudá-lo
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Jose Vidal
Analista de Suporte
vidaldf@gmail.com
AGU - Advocaia Geral da União
Hepta Informática